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【快乐数学】圆锥曲线：斜率和乘积定点问题、硬解定理、等价判别式

这次我们来说说一个古老的圆锥曲线问题：给定斜率和或乘积是定值，求不动点问题。

为了帮助大家更好的解决此类问题，我还将介绍硬解定理和等价判别式。

1.实例

不要说这个问题是陈词滥调。 高考就是考这种老生常谈的东西。

比如2020年山东最后一道题

事实上，斜率的乘积被用作固定值来找到固定点。 这只是旧瓶装新酒。 （当然，在真实的考场中想出这一点并不容易）

你看，AM⊥AN相当于给出一个常数值为-1的斜率积。

那么MN是否通过了不动点T呢？

再看一下，Q是一个定点，DQ是一个定值。

那么D的轨迹是怎样的呢？

圆形的。

结合AD⊥MN，再想一想，

直径、圆周角、直角

你有发现什么吗？

没错，Q的轨迹是一个以AT为直径的圆。

整个问题可以这样解决

别说我不厚道，我就给你一个普通的。

2.插曲——硬解定理和等价判别式

这其实很简单。 硬解定理是由椭圆和直线同时得到的一系列结论。

注：下面的a²只是x²下的系数，b²只是y²下的系数。 它们之间没有大小关系。 这对于关注 y 轴的椭圆也很有用。 对于双曲线，只需将椭圆的 b² 替换为 -b² 即可。

由于抛物线比较简单，所以没有给出硬解定理。

同时

消去x得到

(a²A²+b²B²)x²+2a²ACx+a²(C²-b²B²)=0

记住这一点很有用。

对于消除y的结果，只需交换x和y，然后应用即可。 （也可以将原式中的A替换为B，a替换为b。）因此消除y的方程为

(a²A²+b²B²)x²+2b²BCx+b²(C²-a²A²)=0

那么根据吠陀定理

最后一个方程需要用直线方程代替。

最后一个公式接下来会有很大用处。

结合弦长公式，我们有

3. 等价判别式

然后是判别式。

事实上，这也是硬解定理的一部分。

消除x后的判别式为

△=(a2A2+b2B2-C2)

消除y后的判别式为

△=4b²a²A²(a²A²+b²B²-C²)

对于椭圆，b²不需要替换为-b²

因此，判断直线和椭圆的位置关系时，其判别式相当于a²A²+b²B²-C²。

这就是等价判别式。

说实话，我只记住了整套难解定理，消去x后的方程，真正的判别式，以及x1y2+x2y1的结果。

基本上就够了。 如果不起作用，您可以再次更改。

基本上每次考试都需要。 （这次居然遇到了一整套可以用点差法完成的论文，全程不用苦苦求解定理）

强烈建议大家记住硬解定理。

4. 斜率和是一个常数值

此类情况有一个特殊情况。

当斜率和为固定值0时，直线不通过该固定点。

但

它们的斜率是恒定的。

让我再次仔细描述一下这个命题。

令 P(x0, y0) 为椭圆 E 上的一点，焦点位于 x 轴上。

如果通过点 P 与椭圆 E 的两条斜率和为 0 的直线有两个与 P 不同的交点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则直线 AB 的斜率为常数值。

这个斜率正是通过点P的椭圆的切线的斜率。（这部分我稍后会讲到，我想和极点、直线一起介绍）

如果斜率之和是非零常数 t，则直线穿过固定点。

下面我们一起证明两个结论。

令斜率和为常数 t，

AB：y=kx+m，

E: x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)

P(x0,y0),

A(x1,y1)

B(x2,y2)

其中P、A、B在E上。

注：如果AB斜率不存在，请自行讨论

我们知道

那是

应用硬解定理并化简得到

你渴望得到这个吗？

我也很绝望，看来我已经无法离开这里了。 请教我下一步该怎么做。

接下来我就给大家带来一个好东西。

通过主动将二次方程与斜率匹配来解决问题。

我们将椭圆方程转化为

(x-x0+x0)²/a²+(y-y0+y0)²/b²=1

展开即可得到

由于 P 在椭圆 E 上，因此大括号内的值为 0。

也就是说

对于任何不经过点P的直线m(x-x0)+n(y-y0)=1（注意这个直线法），

将方括号内的表达式乘以1（即直线方程右边的东西），方程两边除以(x-x0)²，然后代入k的表达式，得到

这很好，很有前途。

现在，让我们同时解决四个问题。

如果斜率乘积是常数值 t

令 T=b²/(ta²)

利用吠陀定理，化简得到

代入直线方程并使m无效，我们得到

通过固定点的直线

但需要注意的是，当T-1=0时，即t=b²/a²

AB 不是固定点，但斜率始终为 -y0/x0

使用同样的方法，我们可以得到

斜率和为常数 t 的直线穿过固定点

但当t=0时，直线AB不是不动点，但斜率始终为(b²x0)/(a²y0)

还附上这个。

至于文章最后使用的方法，和这个有些类似

无论如何，稍后我会详细讨论。 我们先来看看。

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